Definição

• Função quadrática é dada por f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c, com a≠0a \neq 0a=0.

• Também chamada de função polinomial do 2º grau, sempre gera gráfico em forma de parábola.

🧮 Raízes da Função

• Encontradas resolvendo $f(x)=0$.

• Fórmula de Bhaskara: x=−b±Δ2ax = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}x=2a−b±Δ​​.

• Discriminante (Δ=b2−4ac\Delta = b^2 – 4acΔ=b2−4ac):

  • $\Delta >0$: duas raízes reais distintas.

  • $\Delta =0$: raízes reais iguais (múltiplas).

  • $\Delta <0$: não há raízes reais (raízes complexas).

🔗 Relações de Girard

• Soma das raízes: x1+x2=−bax_1 + x_2 = -\tfrac{b}{a}x1​+x2​=−ab​.

• Produto das raízes: x1⋅x2=cax_1 \cdot x_2 = \tfrac{c}{a}x1​⋅x2​=ac​.

📐 Formas da Função

• Fatorada: f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x) = a(x – x_1)(x – x_2)f(x)=a(x−x1​)(x−x2​), útil quando se conhecem as raízes.

• Canônica: f(x)=a(x−xv)2+yvf(x) = a(x – x_v)^2 + y_vf(x)=a(x−xv​)2+yv​, prática quando se conhece o vértice.

📊 Gráfico da Parábola

• $a>0$: concavidade para cima (vértice = mínimo).

• $a<0$: concavidade para baixo (vértice = máximo).

• Pontos notáveis: interseção com eixo $y$ ($c$), raízes e vértice.

• Coordenadas do vértice:

  • xv=−b2ax_v = \tfrac{-b}{2a}xv​=2a−b​

  • yv=−Δ4ay_v = \tfrac{-\Delta}{4a}yv​=4a−Δ​.

⚖️ Regras Práticas para o Coeficiente $b$

• Se a parábola intercepta o eixo $y$ subindo → $b>0$.

• Se intercepta descendo → $b<0$.

• Se o vértice está sobre o eixo $y$ → $b=0$.

Aplicações em Exercícios

👕 Lucro de uma empresa

• Modelo: L(x)=10×2+2500xL(x) = 10x^2 + 2500xL(x)=10x2+2500x.

• Para 4.000 camisetas ($x=40$): lucro = R$ 116.000.

📍 Determinação de parâmetros

• Ex.: função f(x)=x2+kx+mf(x) = x^2 + kx + mf(x)=x2+kx+m, condições dadas → cálculo de $k$ e $m$ por substituição em pontos.

✖️ Soma e produto de raízes

• Se conhecidas as raízes, é possível achar rapidamente coeficientes $m$ e $p$.

💊 Função do medicamento

• g(x)=−x2+10xg(x) = -x^2 + 10xg(x)=−x2+10x.

• Descobrir em que dias a pessoa ingeriu 16 gotas → resolução de equação → dias 2 e 8.

📉 Questões gráficas

• Identificação do coeficiente $c$, raízes e intervalo de positividade/negatividade.

• Exemplo: parábola negativa em $x<-1$ e $x>3$; positiva entre $-1<x<3$.